Canonical Form

June 7, 2024

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여러분들은 주어진 truth table을 논리 회로로 구현할 수 있나요? 막상 해보면 쉽지 않을 수 있습니다. 그러나 Canonical form으로 시스템을 표현하면 truth table로부터 회로로 쉽게 구할 수 있습니다.

Canonical form은 sum of products 방식과 product of sums 방식이 있습니다.

A	B	F	minterm	Symbol
0	0	0	$A’{\cdot}B’$	$m_0$
0	1	1	$A’{\cdot}B$	$m_1$
1	0	1	$A{\cdot}B’$	$m_2$
1	1	0	$A{\cdot}B$	$m_3$

위의 경우에서, F가 true인 경우는 (A = 0 and B = 1) 또는 (A = 1 and B = 0)인 경우입니다. 이것을 수식으로 쓰면 아래와 같습니다.

F = A^{'} B + A B^{'}

$F = A'B + AB'$

이처럼 함수를 곱의 합으로 표현하는 방식이 Canonical Sum of Products 방식입니다. 이때 각 항을 minterm이라고 부르며 기호로는 $m_n$ 을 사용합니다.

F = A^{'} B + A B^{'} = m_{1} + m_{2}

$F = A'B + AB' = m_1 + m_2$

또는 아래와 같은 간단한 표시법을 사용할 수도 있습니다.

F (A, B) = \sum (1, 2)

$F(A, B) = \sum{(1, 2)}$

곱은 AND 게이트, 합은 OR 게이트로 표현하면 회로를 쉽게 그릴 수 있습니다.

Canonical Sum of Products

A	B	F	maxterm	Symbol
0	0	0	$A + B$	$M_0$
0	1	1	$A + B’$	$M_1$
1	0	1	$A’ + B$	$M_2$
1	1	0	$A’ + B’$	$M_3$

말을 조금 바꾸어 볼까요? F가 true인 경우는 (A = 0 and B = 0) 또는 (A = 1 and B = 1)인 경우가 아닐 때입니다. 수식으로 써보면 아래와 같습니다.

F = (A^{'} B^{'} + A B)^{'} = (A + B) \cdot (A^{'} + B^{'})

$F = (A'B' + AB)' = (A + B)\cdot(A'+B')$

이렇게 하면 합의 곱 형태로 함수를 표현할 수 있습니다. 이러한 방식이 Canonical Product of Sums입니다. 이때 각 항을 maxterm이라고 부르며 기호로는 $M_n$ 을 사용합니다.

F = (A + B) \cdot (A^{'} + B^{'}) = M_{0} M_{3}

$F=(A+B)\cdot(A'+B')=M_{0}M_{3}$

또는 아래와 같은 간단한 표시법을 사용할 수도 있습니다.

F (A, B) = \prod (0, 3)

$F(A, B) = \prod (0, 3)$

마찬가지로 곱은 AND 게이트, 합은 OR 게이트로 표현하면 아래와 같은 회로를 구할 수 있습니다.

Canonical Product of Sums